Читать книгу Цифровое моделирование на C# онлайн

Делать это можно разными способами. В данной части урока мы рассмотрим два способа интерполяции – многочлен Лагранжа и линейный тренд.

Пусть имеется набор из N-значений функции (Xi, Yi), i=1… N. При этом сама функция нам неизвестна. Обладая этим набором мы хотели бы вычислять значение функции при любом значении X. Будем искать аналитическое выражение для искомой функции в виде многочлена степени N-1.

Подставив значение каждой точки (Xi, Yi) в эту формулу, мы получим систему из N-уравнений относительно коэффициентов многочлена. Можно доказать, что если все Xi различны между собой, данная система всегда имеет единственное решение. Всегда существует многочлен, проходящий через каждую заданную точку. Получившуюся формулу можно использовать для вычислений значений в промежуточных точках. Недостатком этого подхода является то, что нужно решать линейную систему и если точек много, это может потребовать значительных вычислительных ресурсов.

Французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813 г.г.) предложил следующую формулу для интерполяционного полинома:

Используя данную формулу, мы можем вычислять значение многочлена, проходящего через заданный набор точек, не зная самих коэффициентов многочлена!

Пример: Пусть даны следующий три точки (1, 1), (4, 2), (8, 5). Тогда, согласно формуле Лагранжа, значения многочлена, проходящего через эти точки, можно вычислять по формуле:

В случае интерполяции набора точек многочленом мы получаем аналитическое выражение, с помощью которого можно получать значения в промежуточных точках, причем в самих исходных точках у нас будет полное совпадение. Иногда исходные значения меняются по некоторому линейному закону, но в силу погрешностей измерений и влияния других вероятностных факторов, они не лежат на одной прямой. Можно сказать, что данные линейны, но в них присутствует некоторый «шум». В этом случае нет смысла добиваться точного совпадения значений интерполяционной формулы и исходных данных. Гораздо важнее уловить сам линейный закон. Эту задачу решает линейный тренд. Не стремясь пройти через какую-либо исходную точку, линейный тренд стремится соответствовать самому закону, по которому эти точки получены.